纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是一种生活 数学证明法律土办法,常用于证明命题(命题是对某个间题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了一种生活 一种生活 领域(比如数学分析)的基础,什么都有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法一种生活 非常简单。肯能亲戚朋友你会证明某个命题对于自然数n都成立,没人:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下里边的有有4个 步骤。它们实际上因为,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。否则,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚朋友选折 n的倒下会因为n + 1的倒下,否则推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚朋友来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(一种生活 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,都要算出1到1150的累加,要能回家。于是高斯想出了里边的法律土办法。天才就有被逼出来的么?)

亲戚朋友的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,否则命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    没人,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。否则,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

否则,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有有4个 计算机tcp连接调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求tcp连接有有有4个 要能达到的终止条件(base case)。比如下面的tcp连接,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在tcp连接中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。你会得到f(n),都要计算f(n-1);你会f(n-1),都要计算f(n-2)……直到f(1)。肯能亲戚朋友肯能知道了f(1)的值,亲戚朋友就可不都要填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的tcp连接实现。使用递归设计tcp连接的但是,亲戚朋友设置base case,并假设亲戚朋友会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚朋友只关注初始和衔接,而不都要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据行态实现的。正如亲戚朋友里边所说的,计算f(n),都要f(n-1);计算f(n-1),都要f(n-2)……。亲戚朋友在寻找到f(1)但是,会一种生活生活 空缺: f(n-1)的值哪些? f(n-2)的值是哪些? …… f(2)的值是哪些?f(1)的值是哪些? 亲戚朋友的第有有4个 间题是f(n)是哪些,结果,一种生活 间题引出下有有4个 间题,再下有有4个 间题…… 每个间题的解答都依赖于下有有4个 间题,直到亲戚朋友找到第有有4个 可不都要回答的间题: f(1)的值是哪些?

亲戚朋友用栈来保存亲戚朋友在探索过程中的间题。C语言中,函数的调用肯能是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,什么都有很自然的,递归用栈来保存亲戚朋友的“间题” 。

亲戚朋友假设栈向下增长。首先,亲戚朋友调用f(1150),没人当执行到

return f(n-1) + n; 

f(1150)暂停执行,并记录当前的情况汇报,比如n的值,当前执行到的位置。但是 调用f(99),栈增加有有4个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

否则返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(1150),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(1150)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也可不都要自行手动实现栈。原先可不都要得到更好的运行波特率。

总结

数学归纳法

递归

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